Allmän relativitetsteori

Den allmänna relativitetsteorin kallas så därför att den gäller för all rörelse, således även icke rätlinjig och accelererande. Den djärva idén som Einstein lanserade här var att acceleration och gravitation är i grunden två sidor av samma sak. Det kallas för Einsteins ekvivalens princip. All rörelse som ändrar hastighet eller riktning räknas som accelererande. Rätlinjig är rörelse som varken ändrar riktning eller hastighet.

Einstein utgick från antagandet att gravitationskraften, på samma sätt som är fallet med kraften från accelerationen, är ett uttryck till att rörelsen inte är rätlinjig. I fråga om accelererande rörelse (utan gravitationen) kan man ändra på rörelsen så att den blir rätlinjig, och samtidigt blir man av med kraften från accelerationen. I fråga om gravitationen kan man inte det. För om man ändrar rörelsen till rätlinjig kvarstår gravitationskraften, och om man i stället ändrar rörelsen så att kraften försvinner (sk. fritt fall) är rörelsen fortfarande krökt och accelererad. Det leder leder till slutsatsen att där gravitationen verkar måste rummet självt vara krökt.

Den speciella relativitetsteorins rumtid är grunden till den allmänna teorin. Man kan införa tensoralgebra redan i den speciella relativitetsteorins matematiska beskrivning.

Tensoralgebran är en vidareutveckling av vektoralgebran, och som sådan är bara ett matematiskt verktyg bland andra.

Om man börjar från tensorbeskrivningen av den speciella relativitetsteorins rumtid, kan man först med ett enkelt matematiskt grepp generalisera den så att den täcker också möjligheten till ett krökt rum. Den fortsatta härledningen blir dock något lite mer krävande. Slutresultatet är i form av en tensor differentialekvation, kallad den kosmologiska ekvationen, vilket matematiskt anger de villkor som en rums-tidslösning för den krökta geometrin måste uppfylla.



Relativitetsteorierna
    Del 1 - inledning
Relativitet i fysiken

Relativitet i fysiken avser rörelsens relativitet. Detta var känt redan för Galileo, Newton m.fl., och är ingen modern idé. Einstein kom fram till en begränsning till denna relativitet, nämligen att ljusets hastighet inte var relativ utan absolut. Han formulerade för detta en modifierad teori, känt under namnet "speciell relativitetsteori". Den formulerades främst för rätlinjiga rörelser med jämna hastigheter. Nästa steg var generalisera den för alla slags rörelser, och den teorin kallas för "allmän relativitetsteori".

Relativitetsteorier är matematiska teorier. Men ofta försöker man i populärvetenskapliga framställningar undvika matematik. Man räknar med att läsarna är livrädda för matematik och köper inte boken, om det finns formler i den. Jag har inga sådana förbehåll, för jag skriver inte detta för kommersiella syften. Således är inkluderar jag en del matematik i separata filer. Jag strävar dock att skriva så att man kan hoppa över dem.


Speciell relativitetsteori

Den speciella relativitetsteorin är viktig, men inte mer för kosmologin än för fysiken som helhet. Den faller därför utanför presentationen här (kanske blir ett senare tillägg).

Den speciella relativitetsteorin gäller egentligen bara specialfallet med rätlinjig rörelse med konstant hastighet. Det är inte Einstein som uppfann rörelsens relativitet, utan vad han gjorde var att han utgick från experimentella resultat som verkade kräva en korrigering till Newtons och Galileis relativitet.

Lösningen visade sig att kräva några radikala och vågade grepp. Två viktiga resultat kan nämnas här:

  • Rumtiden: rum och tid bildar ett slags 4-dimesionellt komplex kallad rum-tiden.

  • Massans och energins ekvivalens: all massa är energi enligt en konverteringsfaktor, som är lika med ljushastigheten i kvadrat. Det är därför man kan skriva det: E = mc2 .


Matematisk härledning

Följande innehåller ett exempel på en matematisk härledning av allmänna relativitetsteorin ända fram till den kosmologiska
ekvationen. Den bygger på vanlig tensoralgebra, och är inte särskilt svår (dock rätt arbetsam) för den som behärskar den
matematiska hanteringen (helt tvärtom än vad det gamla ryktet säger). En rätt lagom övning för dagens fysikstudenter.


Notera: Jag har försökt att ge en full matematisk härledning, i viss mån mer detaljerat än läroböckerna brukar göra, som ju
gärna lämnar en del av härldedningen som övning till studenten. Det kan vara användbart att se det genomfört. När det i
läroboken står, typiskt nog, "följande kan lätt verifieras", visar det sig ofta att leda till ett rätt så mödosamt räknearbete.
Eftersom jag själv också har kämpat igenom det några gånger, så ger jag ut det här.  (Jag är såklart tacksam om man
påpekar mig för fel, som jag säkert har gjort här och var.)

    Del 2 - speciella lösningar
Schwarzschild lösning
och svarta hål

Det finns ett antal lösningar till den kosmologiska ekvationen. Den historiskt äldsta är av Karl Schwarzschild, och beskriver gravitationsfältet från en symmetrisk punktformad massa. Den motsvarar i Einsteins teori vad som i Newtons teori behandlas som gravitationen från en punkformad massa. Teorin är relevant trots den grova förenklingen eftersom sörre massor tenderar vara sfäriskt symmetriska, och man kan bevisa att sådana på avstånd ger gravitationsverkan som är indentisk med den från en punktmassa.

Schwarzschild lösningen bildar också grunden till teorin om svarta hål. Motsvarigheten till svarta hål finns också i den klassiska fysiken (i Newtons gravitationsteori från 1600-talet), vilket ett par teoretiker räknade fram redan på 1700-talet (man talade om "svarta stjärnor" då). Men det var i och med Einsteins teori som man började spekulera på att sådana objekt verkligen kunde finnas. Begreppet "svart hål" myntades av fysikern Robert Oppenheimer på 1930-talet.

Länk: Mer om krökta rum och svarta hål.

Dessa löningar med en punktmassor är viktiga för teorin, men har ingen direkt anknytning till kosmologin, såtillvida de inte har en koppling till kosmologiska teorier, som t.ex till den kosmologiska konstanten. En intressant iakttagelse är kanske att om vi tar med den kosmologiska konstanten i  behandlingen av punktmassan, så visar det sig att Schwarzschild lösningen inte är det exakta lösningen i det fallet. (Den kosmologiska konstanten förklaras närmare i nästa kapitel).







FRLW lösningen och Big Bang

Alexander Freeman, från Ryssland (Sovjet), var den första som löste problemet om universums totala expansion (1922), men ovetande om denna uppfanns samma lösning (1927) av belgiern Georges-Henri Lemaitre (ofta kallad Abbé Lemaitre, eftersom han var katolsk präst). Två till namn som är förknippade till denna lösning är Howard Percy Robertson från USA, och engelsmannen Arthur Geoffrey Walker. För att inte trampa några nationella intressen på tårna har man funnit det lämpligt att premiera alla namnen, och brukar kalla den kort bara för FLRW-lösningen (FRLW = Freeman - Lemaitre - Robertson - Walker).

Denna teori om universums expansion brukar kallas "Big Bang" teorin. Som benämning är "Big Bang" dock något missvisande, då det handlar om en expansion av universum själv, och inte en explosion i rummet. Alla längdskalorna expanderar, men det innebär inte att stjärnorna i galaxer eller ens galaxer i galaxhopar fjärmar sig från varandra, för deras inbördes rörelser är bundna av gravitationen. Det gäller för ännu större skalor.




Matematisk härledning

Klicka på länken för:
Schwarzschild lösning (på engelska, PDF)

"Schwarzschild lösning" kan också modifieras med
hänsyn tagen kosmologisk konstant (sk. "mörk
energi") med en del intressanta följdverkningar ...
(matematisk härledning under ombearbetning ...)
Kan ljusets hastighet variera?

Ett alternativ som ibland framförs är att det är ljusets hastighet som ändras. Det skulle nämligen också ge en rödförskjutning.

Om man utgår från FLRW-lösningen kan man lätt se att den sistnämnda idén inte medför någon väsentlig ändring i matematiken. FLRL-lösningen täcker den möjligheten också, och avgör därför inte frågan direkt. Andra fysikaliska samband, såsom rörelsemängdens bevarande, kan dock anses leda till att ljusets hastighet måste förbli konstant. (Detta är alltså sett ur FLRL-teorins synpunkt, eventuella andra teorier om ljushastighets variation behandlas inte här).
Matematisk övning


En kort matematisk övning, på engelska, PDF.

Steady State - en äldre konkurrent

Att kalla teorin för "Big Bang" var från början ironiskt. Termen myntades av astronomen och fysikern Fred Hoyle, som var motståndare till teorin att universum skulle ha uppstått med en explosion, och skulle ha en begränsad ålder. Hoyles egen teori kallades "Steady State". Universum i stora mått mätt skulle varit sig lik i all oändlighet. Den teorin befanns dock vara behäftad med en del besvärliga problem, och har inte många anhängare kvar.



Matematisk härledning

Klicka på länken för
FLRW-lösnig och Big Bang (på engelska, PDF)

Kosmologisk rödförsjutning

Som ett bevis för Big-Bang teorin har alltid hållits Edwin Hubbles upptäckt, som senare har verifierats i allt större noggrannhet, att ljusets våglängd blir längre ju längre borta ljuskällan ligger, när vi talar om kosmologiska avstånd, dvs miljoner ljusår. Detta kallas rödförskjutningen, och antas bero på ett sk. Dobbler effekt. Den mätta rödförskjutningen skulle bevisa att avlägsna galaxer flyr ifrån oss i allt högre hastighet (vilket Big Bang teorin förutsätter).

Man har förstås försökt förklara rödförskjutningen på olika sätt, ett tag talade man om "trött ljus", att ljuset skulle förlora energi på vägen och på så sätt bli rödare. Detta sker verkligen. Det finfördelade stoftet som finns i galaxer orsakar verkligen ett slags skjutning åt det röda hållet, därför att stoftet absorberar och sprider andra våglängder mer. Detta ökar proportionellt det röda ljuset, men denna ökning av rött ljus jämfört med andra våglängder är av annat slag, vilket man kan skilja åt.

Den bästa förklarningen till fjärran galaxernas rödförskjutning har verkligen visat sig vara dobbler effekten från det att galaxerna fjärmar från oss, ju mer ju lägre borta de är. Det verkar odiskutabelt att universum expanderar.
Fotnot: De matematiska härledningarna som förekommer på dessa sidor följer inte gängse standard för vetenskpliga publikationer. Det är helt avsiktligt, då jag vill inte falskeligen göra gällande att de skulle vara akademiska arbeten.